什么是幂函数？
幂函数是指函数 $f(x)=x^a$，其中 $a$ 是常数，$x$ 是变量。通常情况下，我们处理的幂函数都是针对实数域的。幂函数中指数 $a$ 的值可以是正数、负数、零，但是当 $x$ 取非负实数（或正实数）值时，才能取正实数值，即函数值恒大于等于 $0$，因为该函数在 $[0,+\\infty)$ 上是单调递增的。
幂函数的定义域和值域
定义域指的是函数定义的变量所能取到的实数范围。幂函数的指数 $a$ 为正实数时，该函数的定义域为 $[0,+\\infty)$，指数为 $0$ 时，定义域为 $R/{0}$；指数为负实数时，定义域为 $(0,+\\infty)$。而值域指的是函数的值所能取到的所有实数。当指数 $a>0$ 时，该函数的值域为 $[0,+\\infty)$；指数 $a<0$ 时，函数的值域是 $(0,+\\infty)$。
幂函数例题
例题一： 求解函数 $f(x)=\\dfrac{1}{2x^2}$ 的值域。
解：该函数为幂函数，$a=-2<0$，其定义域为 $(0,+\\infty)$。则对于任意的 $y>0$，总可以找到唯一的正实数 $x$，使得 $\\dfrac{1}{2x^2}=y$。因此，$y$ 为该函数的值域，且 $y$ 的范围是 $(0,+\\infty)$。
例题二：求解函数 $g(x)=\\sqrt[3]{x-1}$ 的定义域和值域。
解：该函数是幂函数，指数为 $a=\\dfrac{1}{3}>0$，因此，该函数的定义域为 $[1,+\\infty)$，同时函数值恒大于等于 $0$。那么我们考虑当函数取值为 $0$ 时，即 $g(x)=0$，得到 $x=1$。因此，该函数的值域是 $[0,+\\infty)$。
例题三：解析函数 $h(x)=\\dfrac{1}{3-x^2}$ 的定义域和值域。
解：该函数是幂函数，但是是二次幂函数的倒数，因此虽然指数是负数，但是它的定义域并不是 $(0,+\\infty)$，而是 $(-\\infty,-\\sqrt{3}) \\bigcup (\\sqrt{3},+\\infty)$。对于函数值域，我们考虑这个函数的分母，显然当 $x=-\\sqrt{3}$ 或 $x=\\sqrt{3}$ 时，函数取到无穷的值，因此它的值域为 $(-\\infty,0) \\bigcup (0,+\\infty)$。
