证明：九点圆圆心在欧拉线上
引言：欧拉线是三角形中经典的几何线之一，是三角形外心、垂心和重心构成的一条直线。而九点圆，是一个由三角形的中点、垂足和外心构成的圆。这篇论文的目的就是证明九点圆圆心在欧拉线上。
前置知识：三角形外心、垂心和重心
在开始证明九点圆圆心在欧拉线上之前，我们需要了解三角形中的三个点：外心、垂心和重心。外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，也是三角形内接圆的圆心；垂心则是三角形三个顶点往其对立边所做的垂线的交点；重心是三角形三个顶点连线的交点，同时也是三角形中重心线上的点，也就是由三角形三个顶点到对边中点所做的线段的交点。
证明主体：九点圆圆心在欧拉线上
首先，我们需要证明的是：三角形外心、垂心和重心三个点共线。这个可以使用向量法证明：
设三角形ABC的三个顶点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，则有外心G坐标为：
G = [(x1+x2+x3)/3, (y1+y2+y3)/3]
垂心H的坐标为：
H = [x1+(y2-y3)(x1-x2)/(y1-y2), y1+(x3-x2)(y1-y2)/(x1-x2)]
重心的坐标为：
G_1 = [(x1+x2+x3)/3, (y1+y2+y3)/3]
将三个点表示成向量形式，分别为GA,GB,GC，即:
GA = [x1-(x1+x2+x3)/3, y1-(y1+y2+y3)/3] = [2/3(x1-x2), 2/3(y1-y2)]
同理可得GB,GC的向量表示形式为：
GB = [2/3(x2-x3), 2/3(y2-y3)]
GC = [2/3(x3-x1), 2/3(y3-y1)]
容易发现：GA+GB+GC = 0
因此，GA,GB,GC三个向量共线，即G,H,G_1三个点共线。
接下来，我们需要证明九点圆圆心也在同一条直线上。考虑将三角形ABC分别中心对称，得到三个新的三角形A'B'C'，同时还会得到与原来三角形ABC边平行、长度为边长一半的三条线段a,b,c，它们分别连接原三角形ABC各边中点。
在新三角形A'B'C'中，九点圆的圆心为三角形中心N(即垂线的交点)。现在，考虑将线段a,b,c分别沿欧拉线方向移动，直到它们分别平分三角形ABC三条边。此时，线段a,b,c分别变成了垂线AO，垂线BO，垂线CO。此时，垂线的交点即为垂心H，九点圆圆心也落在G,H,G_1所在的直线上。
与推论：欧拉线的特殊性质
综上所述，我们证明了九点圆圆心落在欧拉线上。从欧拉线的定义出发，我们可以得到一些重要的和推论：
- 三角形外心、垂心和重心共线，即欧拉线
- 九点圆圆心也位于欧拉线上
- 欧拉线恰好是三角形重心和外接圆圆心组成的线段中点
这些和推论具有极高的几何意义，有助于我们更深入地了解三角形的性质和特点。
